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Karriere

Mathematik

Grundlagenjahr

Qualifikationsprogramm:  Fakultät 73
Term:  Generation 4/5, Grundlagenjahr
Status:  Version 1 (15.11.2022)
Dauer:  3 Phasen à 6 Wochen à 6,5 Zeitstunden.
In Summe 117 Zeitstunden Unterricht.
Voraussetzungen:  keine

Unterrichtsgestaltung

(inkl. Theorie-/Praxisanteile)

Die Unterrichtsgestaltung besteht aus drei Konzepten, welche sich gegenseitig ergänzen, um einen maximalen Lernerfolg zu erzielen.

Theorie

Die Veranstaltung beginnt mit einer Motivation und Vorstellung der jeweiligen Themen. Dies passiert z.B. durch geschichtliche Anekdoten oder durch den Bezug zu Alltagsproblemen, die mit mathematischen Mitteln gelöst werden können.

Der Inhalt wird in einer kleinen Theorieeinheit vorgestellt und im Anschluss dazu, werden je nach Bedarf einige Beispielaufgaben vorgestellt.

Praxis

Nachdem die Theorieeinheiten und Beispiele vorgestellt wurden, beginnen die Teilnehmer ausgewählte Aufgaben zu bearbeiten. Die Aufgaben sind in vier Schwierigkeitsstufen eingeteilt, wobei das Ziel verfolgt wird, Aufgaben der dritten und vierten Stufe zu meistern. Damit soll ermöglicht werden, dass schwächere Teilnehmer, die bisher weniger Bezüge zur Mathematik hatten, das Lernen zu erleichtern und zuletzt das Prüfungsniveau zu erreichen. Während dieser Phase unterstützt der Trainer die Teilnehmer individuell.

Anschließend werden die Aufgaben zusammen besprochen und Lösungen vorgestellt.

Diese Schritte werden drei bis viermal pro Schulungstag wiederholt. Je nachdem wie umfangreich die Themen des Tages sind.

Mathematische Inhalte

Es gibt zudem mathematische Inhalte, die ebenfalls mit einem Code in Java, C++ oder Python umgesetzt und anschließend besprochen werden.

Abschlussdiskussion

Im Anschluss dazu ist eine kleine Diskussion über die aktuellen Themen möglich.

Welchen Ausblick gibt es? Wo können die gelernten Methoden angewendet werden? Warum sind die besprochenen Themen für Softwareentwickler relevant? Wie kann ich mir den Inhalt am besten einprägen?

Anteile Theorie
und Praxis

Theorie (Lehrvortrag)

Theorie (Beispiele)

Praxis (Übungen)

Praxis (Diskussion)

Unser Lerninhalte

Phase 1 & 2

Grundlagen der Arithmetik

Aussagenlogik

Mengenlehre I

Mengenlehre II

Gleichungen & Ungleichungen

Summen & Produkte

Grundlagen der Analysis II

Grundlagen der Analysis III

Lineare Algebra I

Lineare Algebra II

Primzahlen als Verschlüsselungsgrundlage

Phase 3

Grundbegriffe der Graphentheorie I

Grundbegriffe der Graphentheorie II

Baumstrukturen

Matchings

Kürzeste Wege Algorithmen

Laufzeitberechnung

Lernziele/Kompetenzen

Nach Abschluss der Phase 1 und 2 des Grundlagenjahres haben die Teilnehmer folgende Kenntnisse erworben:

Nach Abschluss der Phase 1 und 2 des Grundlagenjahres haben die Teilnehmer folgende Kenntnisse erworben:

Die Teilnehmer lernen essenzielle Rechenregeln und Grundlagen, wie Termumformungen, die Anwendung von Potenzgesetze, Bruchrechenarten und Teilbarkeitsregeln kennen. Sie lernen mathematische Aussagen zu verknüpfen, zu vereinfachen und mit Hilfe von Wahrheitstabellen zu überprüfen, ob Aussagen logisch gleichwertig sind.
Sie kennen den Begriff der Menge im mathematischen Sinne und sind in der Lage mathematische Mengen in unterschiedlichen Darstellungsvarianten zu bilden und umzuformen. Sie können von gegebenen Mengen Teilmengen bilden und entscheiden, ob eine gegebene Menge eine Teilmenge einer anderen Menge ist oder nicht. Sie beherrschen die Begriffe „Durchschnitt“, „Vereinigung“ und „Kreuzprodukt“ von Mengen und können diese zur Mengenbildung anwenden.
Die Teilnehmer sind in der Lage lineare und quadratische Gleichungen bzw. Ungleichungen zu lösen. Sie wissen, wie sich die Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen, von denen bei Gleichungen unterscheiden. Sie kennen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Vergleichs-/Relationszeichen und können zu einer Ungleichung den passenden Definitionsbereich bestimmen. Sie lernen ggf. mithilfe von Fallunterscheidungen Betragsungleichungen zu lösen.
Sie wissen, warum das Summen- und Produktzeichen eine nützliche Art der Notation ist, und kennen ihre wesentlichen Bestandteile. Sie lernen Regeln kennen mithilfe derer sich Summen und Produkte umformen und vereinfachen lassen. Sie können eine Summe/ Produkt, die mithilfe des Summenzeichens/ Produktzeichens geschrieben ist, als „normale“ Summe/ Produkt schreiben und berechnen. Sie kennen nützliche Summenformeln und sind in der Lage diese in einem Anwendungskontext zu verwenden. Darüber hinaus nutzen sie den Vorteil bekannter Summenformeln, um Berechnungen in Java, Python oder C++ für z.B. Rentenendwerte zu ermitteln.
Sie lernen den Begriff des Grenzwertes kennen und sind in der Lage mithilfe von Umformungen zu erkennen, ob eine Funktion konvergiert oder divergiert. Sie sind in der Lage das Grenzverhalten von Funktionen, durch Bezugnahme einer Rangordnung, argumentativ zu begründen. Sie lernen die Dominanz von bekannten Funktionen in der Grenzwertbetrachtung und sind dadurch in der Lage, Algorithmen zu vergleichen und zu bewerten. In Java, Python oder C++ können sie Programme schreiben, mithilfe derer sie Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
Die Teilnehmer erwerben Kenntnisse aus der linearen Algebra. Dazu gehören Lösungsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, wie das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren. Sie können erkennen, ob ein lineares Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt und sind in der Lage mithilfe eines geschriebenen Programms in Java, Python oder C++ dies zu beurteilen.
Die Teilnehmer lernen die Grundlagen der Matrizenrechnung kennen. Dazu gehören die Addition, die Subtraktion und die (Skalar-)Multiplikation von Matrizen. Sie sind mit den Begriffen Zeilen, Spalten, Zeilenvektor und Spaltenvektor vertraut und können den Typ einer Matrix erkennen. Sie wissen, wie die Transponierte einer Matrix definiert ist und wie sie sie bestimmen können. Sie kennen die Unterschiede einer Quadratischen-, Diagonalen-, Einheits-, Dreiecks- und Symmetrischen-Matrix. Sie wissen, was die Gleichheit zweier Matrizen bedeutet. Sie lernen den Begriff der Koeffizienten Matrix kennen und wissen, wie man ein lineares Gleichungssystem in die Matrixdarstellung umformen kann. Mithilfe von Inversen, des Gauss-Algorithmus und Gauss-Jordan-Verfahren, sind sie in der Lage Programme in Java, Python oder C++ zu schreiben, mit derer lineare Gleichungssysteme gelöst werden können.
Die Teilnehmer kennen die grundlegenden Eigenschaften von Primzahlen und deren Bedeutung im Zahlensystem. Sie kennen die Unterschiede zwischen symmetrischen und asymmetrischen Verschlüsselungen. Sie lernen die Modulo-Rechnung und den (erweiterten) euklidischen Algorithmus kennen, um mithilfe des RSA-Verfahren eine Verschlüsselung zu entschlüsseln. In Java, Python oder C++ lernen sie eine solche Verschlüsselung mithilfe eines geschriebenen Programms zu lösen.

Nach Abschluss der Phase 3 des Grundlagenjahres haben die Teilnehmer folgende Kenntnisse erworben:

Die Teilnehmer lernen die Grundbegriffe der Graphentheorie kennen. Sie können bestimmen, um welchen Typ Graph es sich handelt und können mithilfe der Knotengrade Eigenschaften von Graphen feststellen und ausschließen. Sie lernen verschiedene Darstellungsvarianten eines Graphen, wie das Schaubild, die Adjazenz- und Inzidenzmatrix und die Adjazenz- und Inzidenzliste kennen. Sie sind in der Lage in vorgegebenen Darstellungen umzuformen. Sie kennen sich mit besonderen Eigenschaften von Graphen aus. Dazu gehören die Regularität, Vollständigkeit und die Isomorphie. Sie kennen die Definitionen verschiedener Kantenzüge, wie (Euler-)Wege, Pfade, Zyklen und (Euler-)Touren und können mithilfe dieser Kenntnisse algorithmische Lösungen zum Finden kürzester Wege in einem Graphen finden. Mithilfe des Dijkstra- und des Floyd-Warshall-Algorithmus, können sie in Java, Python oder C++ ein Programm zum Finden von kürzesten Wegen in einem Graphen erstellen.
Sie lernen eine Auswahl an Algorithmen kennen, um vollständige Matchings und minimale Spannbäume in einem Graphen zu ermitteln. Außerdem erwerben sie Kenntnisse zu verschiedenen Typen von (Such-)Bäumen und deren Nutzung als Speicher.
Das Ziel ist es die Lerninhalte verstehen und anwenden zu können. Dabei liegt der Schwerpunkt darauf, Probleme anderer Fachbereiche, z.B. der Logistik in die Graphentheorie zu übersetzen und eine algorithmische Lösung zu finden. Außerdem erwerben sie die Fähigkeit fundierte Entscheidungen in der Wahl eines passenden Algorithmus bzw. einer Datendarstellung für ein vorliegendes Problem treffen zu können. Die Teilnehmer sind nach der Veranstaltung zudem in der Lage die erlernten Algorithmen in Java, C++ oder Python umzusetzen.
Die Teilnehmer lernen Sortieralgorithmen, wie den Bubblesort und Mergesort kennen. Sie sind in der Lage die Laufzeiten der Algorithmen miteinander zu vergleichen und mithilfe von Arrays Elemente in Java, Python oder C++ zu sortieren.
Weiterhin wird das Ziel verfolgt den Teilnehmern einen Ausblick in, zuvor noch nicht thematisierte Anwendungsgebiete, der Graphentheorie und Algorithmen zu geben. Hierzu gehören das Travelling-Salesman-Problem und die Färbungslehre. Sie lernen mithilfe von Hamiltonkreisen und des nearest-neighbour-Algorithmus das Problem einer optimalen Vertriebs-Route näherungsweise zu bestimmen. Außerdem wird ein Bewusstsein dafür entwickelt, welche Alltagsprobleme mit Mitteln der Färbungslehre gelöst werden können.

Zusätzlich zur Entwicklung der Fachkompetenz erfolgt eine Förderung der sozial-kommunikativen, personalen und Aktivitäts- und Handlungskompetenz.

Lehrmethoden

Frontalunterricht/Präsentation

Vermittlung von gesichertem Wissen durch vom Dozenten vorbereitete Präsentationen

Plenumsdiskussion bzw. dialogisches Lernen

Direkter Einbezug der Lernenden, Mitgestaltung des Prozesses

Partnerarbeit (Pair Programming)

Behandlung eher schwierigerer Aufgaben, Notwendigkeit gegenseitiger Hilfe, Arbeitsteilung und eigenverantwortlichem Arbeiten

Einzelarbeit

Phasen des Übens und Wiederholens, Übung der Sorgfalt, Konzentration und eigenverantwortlichem Arbeiten

Selbstorganisiertes Lernen

Vorgabe der Lehrmaterialien durch Dozent. Art, Weise und Intensität der Nutzung obliegt dem Lernenden.

Lernen an Lösungsbeispielen

Erläuterung des Lerninhalts durch konkrete Beispiele

Projektarbeit in kleinen Gruppen

klare Arbeitsstruktur und sinnvolle Kooperation notwendig

Weiterbildungen

Angeleitete Lernen in Weiterbildungseinheiten als Selbststudium, Einarbeitung in die eigentlichen Inhalte, Vertiefung und Vervollkommnung der Inhalte

Projektpräsentationen

Präsentationen der Lernenden, Schulung der Präsentationskompetenz und Vermittlung von Wissen

Technische Ausstattung für Schulungsräume

Beamer, Smartboard, Arbeitsplätze mit Monitor und Schulungsraum

Einen (VW-)Rechner für jeden Lernenden mit:

  • PDF-Viewer
  • MS-Office
  • einem aktuellen Internetbrowser
  • Kopfhörer und Mikrofon
  • Internetverbindung

Lernmaterialien

  • Modulskripte
  • Lernvideos (eigene Produktion)
  • Lernvideos (YouTube)
  • Beispiele
  • Übungsaufgaben mit Musterlösungen

Prüfung

Am Ende des Grundlagenjahres werden zwei Prüfungen abgelegt:

  • Ein Onlinetest
  • Eine handschriftliche Klausur

Weitere Hinweise

Wir empfehlen den Teilnehmern ein Tablet mit Stift zu nutzen, um sich digital besser mit Trainern und anderen Teilnehmern über die Schulungsunterlagen austauschen zu können. Falls jemand kein Tablet hat und auch nicht kaufen möchte, hat er dadurch keinen Nachteil.

Kennen Sie schon unser Grundlagenjahr Pathway Python?